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三、数量关系
251. 一条东西向的河流, 水流自西向东, 速度为 10 公里/ 小时, 现有摆渡船从南 岸的 A 点出发, 要开往正北方向的位于北岸的 B 点, 已知船速为 20 公里/ 小时, 则摆 渡船往 方向行驶, 可以保证船能够向正北方向航行。
A. 北偏西 30 度
B. 西偏北 45 度
C. 东偏北 30 度
D. 北偏东 45 度
【答案】 A
【解析】 第一步, 本题考查几何问题, 属于平面几何类。 第二步, 如图所示, 船要想向正北方向航行, 首先需要平衡水流的速度。 水流方 向为正东, 则船的速度可以向正西分解出一个 10 公里/ 小时, 再分解出向北的速度。 在△ABO 中, AO= 10, BO= 20, 则∠AOB = 60°, 那么航向为北偏西 30°。
因此, 选择 A 选项。
252. 有 A、 B 两个水壶, 分别装有 a、 b 升水。 现将 B 壶中的一半水倒入 A 壶 中, 再将 A 壶中的一半水倒回 B 壶中。 将上述过程记为一次操作, 那么两次操作后 A、 B 两壶中的水又回到初始状态, 那么 a
b = ?
A. 1 /2
B. 2 /3
C. 3 /4
D. 4/5
【答案】 A
【解析】 第一步, 本题考查基础应用题, 用代入排除法解题。 第二步, 将选项 A 代入, 由 a ∶ b = 1 ∶ 2, 赋值 A、 B 两个水壶原来水量分别为 1 和 2, 将 B 壶中的一半倒入 A 壶中, 则 A 壶中水为 2, B 壶中水为 1。 再将 A 壶中的一半 水倒回 B 壶中, 则 A 壶中水为 1, B 壶中水为 2, 回到初始状态; 那么再操作一次仍可 以回到初始状态, 满足题意。 因此, 选择 A 选项。
253. 有甲、 乙两个瓶子, 甲瓶里装了 200 毫升清水, 乙瓶里装了 200 毫升纯酒精。 第一次把 20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶, 第二次把甲瓶中 20 毫升溶液倒回乙瓶, 此时 甲瓶里含有纯酒精的量 乙瓶里含水的量。
A. 大于
B. 小于
C. 等于
D. 不能确定
【答案】 C
【解析】 第一步, 本题考查溶液问题。 第二步, 甲瓶里含有纯酒精的量是 20× (1- 20/220 )= 20× 10/11 ; 乙瓶里含水量是 20× 22/200 = 20× 10 /11 , 二者相等。 因此, 选择 C 选项。
254. 两条公路成十字交叉, 甲从十字路口南 1200 米处向北直行, 乙从十字路口处 向东直行。 甲、 乙同时出发 10 分钟, 两人与十字路口的距离相等, 出发后 100 分 钟, 两人与十字路口的距离再次相等, 此时他们距离十字路口 ( ) 米。
A. 6600
B. 6000
C. 5600
D. 5400
【答案】 D
【解析】 解法一: 第一步, 本题考查行程问题, 用方程法解题。 第二步, 设甲的速度为 x 米/ 分钟, 乙的速度为 y 米/ 分钟, 由出发 10 分钟距离相 等列方程: 1200 - 10x = 10y; 由出发 100 分钟距离再次相等列方程: 100x - 1200 =100y, 解得: x = 66 (米/ 分钟)、 y = 54 (米/ 分钟), 此时距离十字路口 100×66-1200 =54×100 = 5400 (米)。 因此, 选择 D 选项。
解法二: 第一步, 本题考查行程问题, 用方程法解题。 第二步, 设乙第一次走了 s 米, 时间是 10 倍则距离也是 10 倍, 可知第二次走了 10s 米。 那么甲第一次走了 (1200-s) 米, 第二次走了 (10s+1200) 米, 根据比例关系 有 10 (1200-s) = 10s+1200, 解得 10s = 5400, 即此时距离十字路口的距离。 因此, 选择 D 选项。
255. 如图所示, 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是:
A. 720°
B. 540°
C. 360°
D. 108°
【答案】 C
【解析】 第一步, 本题考查几何问题。 第二步, 如图, 延长 CF 到 AB 上, 交点为 G, DE 与 CF 的交点为 H, 则∠DHF 为 △HEF 的外角, 则∠DHF =∠E+∠F; 同理, ∠CGA = ∠B+∠C; 由于四边形 ADHG 的 内角和为 360°, 即∠A+∠D+∠DHF+∠CGA =∠A+∠D+∠E+∠F+∠B+∠C = 360°。
因此, 选择 C 选项。
